κυκλοτομία

Η διαίρεση του κύκλου σε ν ίσα μέρη (ν = 2, 3, 4,…). Το πρόβλημα αυτό είχε απασχολήσει τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι έθεταν τον περιορισμό να χρησιμοποιούνται κατά τη λύση του μόνο ο κανόνας και ο διαβήτης. Το πρόβλημα ισοδυναμεί με την κατασκευή κανονικού πολυγώνου με ν πλευρές (ακριβώς γιατί κάθε τέτοιο πολύγωνο εγγράφεται σε κύκλο και οι κορυφές του, επίσης ν, χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα μέρη). Οι αρχαίοι κατόρθωσαν να λύσουν το πρόβλημα (μόνο με κανόνα και διαβήτη) για τις τιμές του ν = 2^κ (όπου κ = 1,2,3,...), 3,5 και για τιμές του ν που αποτελούν γινόμενα αυτών των αριθμών. Οι λύσεις αυτές είναι γνωστές από τα γυμνασιακά βιβλία (κατασκευές τετραγώνου, ισοπλεύρου τριγώνου, κανονικού εξαγώνου, δεκαγώνου, δεκαπενταγώνου κλπ.). Τίθεται το πρόβλημα αν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί κανονικό ν-γωνο για κάθε τιμή του ν (= 2,3,4,5,…) μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη. Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό δόθηκε από τον διάσημο μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ο οποίος απέδειξε ότι η κατασκευή του κανονικού ν-γώνου μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη είναι πραγματοποιήσιμη, μόνο αν ο ν έχει τη μορφή 2^κ (2^κ₁ + 1)(2^κ₂ + 1)… (2^κ_λ + 1), όπου οι κ₁, κ₂, κ₃, ..., κ_λ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί και οι 2^κ₁ + 1, 2^κ₂ + 1, ..., 2^κ_λ + 1 είναι πρώτοι αριθμοί. Έτσι, στην περίπτωση κ = 0 και λ = 1 προκύπτει ότι το κανονικό ν-γωνο με ν = 2^κ₁ + 1 κατασκευάζεται (μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη) στην περίπτωση (και μόνο σε αυτήν) που ο2^κ₁ + 1 είναι πρώτος. Αν κ₁ = 0, 1, 2, 3, 4, τότε είναι: 2^κ₁ + 1 = 3, 5, 17, 257, 65537, ενώ, αν κ₁ = 5, 6, 7, οι 2^κ₁ + 1 που προκύπτουν δεν είναι πρώτοι. Έτσι, τα κανονικά ν–γωνα με πλήθος 3, 5, 17, 257, 65537 πλευρών κατασκευάζονται μόνο με τον κανόνα και τον διαβήτη. Διαίρεση του κύκλου σε τρία ίσα μέρη. Γίνεται πρώτα η διαίρεση σε έξι ίσα μέρη (η χορδή του καθενός από τα έξι ίσα τόξα είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου)· έτσι κατασκευάζεται πρώτα το κανονικό εξάγωνο (κόκκινο χρώμα) και έπειτα το ισόπλευρο τρίγωνο (μπλε χρώμα). Οι κορυφές του ισόπλευρου τριγώνου χωρίζουν την περιφέρεια του κύκλου σε τρία ίσα μέρη.